Hur man räknar ut derivata

Tidigare lärde oss oss hur formeln på grund av derivatans definition fungerar samt hur oss tillsammans hjälp från den är kapabel beräkna derivatan inom enstaka viss punkt på grund av ett given funktion. Dock förmå detta artikel ofint för att behöva komma tillbaka mot derivatans definition varenda gång man bör derivera (räkna ut toleransnivåer för) ett funktion.

Derivatan betecknas olika inom olika litteratur.

T ex \(f '(x)\) samt \( \frac{d(f(x))}{dx}\) .

Skriv inom uttrycket såsom ni önskar derivera.

på denna plats använder oss \(f '(x)\). Beteckningen \( \frac{d(f(x))}{dx}\) kallas deriveringsoperator vilket påförs ett funktion \(f(x)\).

Det finns deriveringsregler såsom kunna härledas utifrån derivatans definition samt sedan används på grund av för att beräkna derivatan på grund av en antal vanligt återkommande funktioner.

I tidigare del beräknade oss derivatan inom enstaka punkt.

idag skall oss beräkna derivatan till samtliga x inom funktionens all definitionsmängd. Då ersätter man punkten a tillsammans variabeln x. Derivatan blir då inom sig ett funktion inom identisk definitionsmängd.

Men innan oss börjar kolla vid deriveringsreglerna tar oss ett repetition från funktionsbegreppet.

Tidigare lärde oss oss hur formeln till derivatans definition fungerar samt hur oss tillsammans hjälp från den är kapabel beräkna derivatan inom enstaka viss punkt till enstaka given funktion.

Mer ifall funktionsbegreppet inom Matte 1 samt Matte 2.

Funktionsbegreppet existerar centralt på grund av derivatan.

En funktion f existerar enstaka regel/flera regler var ett input omvandlas mot output (se bild). T ex plast in inom enstaka maskin samt ut kommer muggar. Volymkontroll ökas vid enstaka förstärkare, därför ökas volymen.

varenda inställt värde vid volymkontrollen medför ett viss utfall ut.

Mer formellt existerar enstaka funktion enstaka regel likt avbildar enstaka definitionsmängd från x entydigt vid enstaka värdemängd f(x).

På identisk sätt existerar d/dx enstaka regel liksom besitter f '(x) liksom output, osv.

Vi bör idag härleda några från dem enklaste samt nyttigaste deriveringsreglerna.

detta viktigaste existerar ej för att behärska härleda dessa vid personlig grabb, utan främst för att behärska följa tillsammans inom samt förstå härledningen, samt för att sedan behärska nyttja dem deriveringsregler likt oss kommer fram till.

Förstagradsfunktioners derivata

Låt oss börja tillsammans med ett lätt linjär funktion samt beräkna dess derivata:

$$f(x)=5x$$

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

Här ser oss för att derivatan existerar densamma till varenda värden vid x - derivatan existerar ständigt 5 på grund av denna funktion.

Om oss studera beräkning ovan förmå oss ana oss mot för att detta finns en allmänt samband mellan den enkla raka funktionens k-värde samt derivatan (som ni nog minns bestämmer k-värdet just enstaka linje lutning samt existerar lika på grund av varenda punkter längs linjen):

$$f(x)=ax$$

$$f{}'(x)=a$$

Nästa modell existerar räta linjens ekvation: y = f(x) = kx+m
Använder oss derivatans definition 

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{k(x+h)+m-(kx+m)}{h}= \\ =\frac{kx+kh+m-kx-m}{h}=\frac{kh}{h}=k$$

Precis liksom inom avsnittet innan ser oss för att f '(x) = k, detta önskar yttra derivata inom punkten x  existerar lika tillsammans k-värdet, riktningskoefficienten.

Andragradsfunktioners derivata

Vi kalkylerar idag derivata till enstaka lätt andragradsfunktion:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$

I detta denna plats exemplet fick oss alltså följande:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=6x$$

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion samt denna andragradsfunktions derivata existerar ej lika enkel för att titta likt till den enkla förstagradsfunktionen, dock sålunda denna plats ser detta generella sambandet ut på grund av fallet tillsammans med enkla andragradsfunktioner:

$$f(x)=ax^{2}$$

$$f'(x)=2ax$$

Tredjegradsfunktioners derivata

På identisk sätt likt oss såg för att oss kunde utföra på grund av enkla andragradsfunktioner, är kapabel oss härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

För ett lätt exempelfunktion från tredjeplats graden får oss nästa derivata:

$$f(x)=2x^{3}$$

$$f'(x)=6x^{2}$$

Det allmänna sambandet till enkla tredjegradsfunktioner samt deras derivata ser ut därför här:

$$f(x)=ax^{3}$$

$$f'(x)=3ax^{2}$$

Innan oss tittar vid hur polynomfunktionerna deriveras allmänt tittar oss vid "nolltegradsfunktionen" detta önskar yttra x⁰ liksom motsvarar funktioner liksom besår från enbart ett konstant term.

Nolltegradsfunktioners derivata

En nolltegradsfunktion existerar enstaka funktion tillsammans med enstaka x⁰-term vilket den begrepp vilket besitter högst gradtal.

en modell vid enstaka sådan funktion existerar följande:

$$f(x)=5 $$

För för att titta för att detta denna plats verkligen existerar enstaka nolltegradsfunktion förmå man nedteckna angående uttrycket därför här:

$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$

Denna funktions graf existerar enstaka horisontell linje (alltså ett linje likt existerar parallell tillsammans x-axeln).

ett sådan linje borde äga lutningen k=0, vilket även borde artikel värdet vid funktionens derivata.

Vi använder derivatans definition:

$$f(x)=5=5x^{0}$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$

Denna nolltegradsfunktions derivata blev många riktigt lika tillsammans med 0, likt väntat.

Nu bör oss räkna ut derivata inom punkten (b) (det önskar yttra inom den punkt vid kurvan var x = -2): Formeln på grund av detta gränsvärde är: $$ k=f'(-2)= \lim_{x \to -2 } \frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}$$.

inom själva verket är kapabel man upprepa härledningen ovan på grund av ett godtycklig nolltegradsfunktion \(f(x) = a\) samt komma fram mot för att derivatan blir lika tillsammans med 0.

Det generella sambandet mellan enstaka nolltegradsfunktion samt dess derivata blir alltså:

$$f(x)=a$$

$$f'(x)=0$$

Viktigt för att tänka vid existerar för att oss kan inte inledningsvis sätta in punkten inom funktionen samt sen derivera i enlighet med deriveringsreglerna.

liksom modell, beräkna \(f '(2)\) på grund av funktionen

$$f(x) = x^2 $$

om oss inledningsvis sätter in x = 2 får oss \(f(2) = 4\) samt då skulle \(f '(2) = 0\) i enlighet med deriveringsreglerna. Därför måste oss inledningsvis derivera tillsammans med avseende vid variabeln x och oss får istället

$$f'(x) = 2x$$

$$f'(2) = 4$$

Detta beror vid för att derivatan bara kunna tas vid enstaka funktion \(f(x)\) ifall oss söker \(f'(x)\) inom ett godtycklig punkt.

titta funktionsbegreppet tidigare.

N-tegradsfunktioners derivata

Om man deriverar enkla polynomfunktioner från högre gradtal tillsammans med hjälp från derivatans definition, visar detta sig för att deras derivata följer en allmänt mönster då dem existerar från gradtal n (n ≠ 0):

$$f(x)=a\cdot x^{n}$$

$$f'(x)=an\cdot x^{n-1}$$

Derivata på grund av polynomfunktioner tillsammans med flera termer

Nu besitter oss undersökt derivatan till enkla polynomfunktioner från olika gradtal.

dock vad sker angående oss besitter ett polynomfunktion liksom innehåller begrepp från olika gradtal? en modell vid ett sådan polynomfunktion existerar följande:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går för att utföra vid identisk sätt vilket oss gjort tidigare på grund av enklare funktioner, tillsammans hjälp från derivatans definition.

Derivata existerar enstaka funktion likt anger förändringshastigheten hos enstaka ytterligare känd funktion.

angående oss äger räknat riktig således kommer oss fram mot nästa samband mellan denna exempelfunktion samt dess derivata:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

$$f'(x)=2x+3$$

Om oss jämför termerna inom uttrycket på grund av derivatan tillsammans funktionen inom detta modell, sålunda ser oss för att dessa motsvarar summan från derivatan från dem grundlig termerna inom detta ursprungliga funktionsuttrycket.

Generellt är kapabel man yttra för att sambandet mellan ett polynomfunktion liksom består från flera begrepp samt denna funktions derivata följer denna regel:

$$f(x)=a(x)+b(x)$$

$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$

Alltså: derivatan på grund av bota polynomfunktionen får man genom för att summera derivatan till varenda begrepp inom funktionen på grund av sig.

Deriveringsreglerna

Vi sammanfattar resultatet ovan inom ett tabell:

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
k	0
\(x\)	1
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^4\)	\(4x^3\)
\(\dots\)	\(\dots\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^{n-1}\)

 Där k existerar ett konstant.

Derivatan till några andra vanligt förekommande funktioner

Vi bör även derivera några andra vanliga funktioner, dock utan härledning tillsammans med hjälp från derivatans definition.

oss nöjer oss tillsammans med för att derivera utifrån reglerna oss nyss kommit fram till.

Vi börjar tillsammans med när x är nämnare inom enstaka kvot.
$$f(x)= \frac{1}{x}$$

Vi kunna i enlighet med potensreglerna nedteckna ifall den därför här

$$f(x)= \frac{1}{x} = x^{-1}$$

Nu kunna oss derivera denna funktion i enlighet med reglerna till xⁿ

$$f'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1}= -x^{-2} $$

Vi skriver för tillfället åter den såsom enstaka kvot

$$f'(x) = -x^{-2} = \frac{-1}{x^2} $$

Nästa funktion existerar en enkelt fall var variabeln ligger inom en rotuttryck:

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$

$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Enkelt fall tillsammans funktion var exponenten existerar negativ:

$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$

Sista exemplet existerar då oss undersöker hur detta ser ut angående oss äger enstaka konstant multiplicerat tillsammans ett funktion.

$$f(x) = k \cdot g(x) $$

När oss deriverar detta får helt enkelt

$$f'(x)= k \cdot g'(x) $$

Vad innebär detta?

Jo angående oss vet för att funktionen \(f(x)=\sqrt{x} \) äger derivatan \(f'(x) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\) således gäller i enlighet med regeln ovan för att till funktionen 

$$f(x) = 3\sqrt{x}$$

har derivatan 

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{x}}$$